矩阵对角化

Diagonalizing a Matrix
利用线性变换，将可对角化的一般矩阵转化为对角矩阵（如果不能对角化，可以化为 Jordan矩阵）

一、矩阵对角化的原理

对可对角化的矩阵 $A$ , 计算特征值和特征向量，得到两个特殊矩阵：

\begin{array}{r} A \vec{x} = λ \vec{x} \end{array}

对角矩阵 $Λ$ ：对角线上的各个元素为特征值
矩阵 $X$ ：各个列向量为对角矩阵上的特征值元素所对应的特征向量

\begin{array}{r} A X = A (\begin{array}{c} x_{1} & \dots & x_{n} \end{array}) = (\begin{array}{c} λ_{1} x_{1} & \dots & λ_{n} x_{n} \end{array}) \end{array}

\begin{array}{r} X Λ = (\begin{array}{c} x_{1} & \dots & x_{n} \end{array}) (\begin{array}{c} λ_{1} \\ ⋱ \\ λ_{n} \end{array}) = (\begin{array}{c} λ_{1} x_{1} & \dots & λ_{n} x_{n} \end{array}) \end{array}

所以有 $A X = X Λ$ ，进一步可以将（可对角化的）矩阵进行对角化：

\begin{array}{r} A = X Λ X^{- 1} Λ = X^{- 1} A X \end{array}

利用矩阵对角化，可以方便地计算矩阵的幂：

\begin{array}{r} A^{k} = (X Λ X^{- 1}) (X Λ X^{- 1}) \dots (X Λ X^{- 1}) = X Λ^{k} X^{- 1} \end{array}

相似矩阵：Similar Matrix
如果 $A = B C B^{- 1}$ ，只要 $B$ 可逆，则称 $A$ 和 $C$ 相似，且 $A$ 和 $C$ 有相同的特征值
假设有 $C x = λ x$ , 则： $A B x = B C B^{- 1} B x = B C x = B λ x = λ (B x)$
所以 $A$ 也有相同的特征值 $λ$

二、矩阵对角化的条件

之前反复出现的条件：可对角化，具体指的是什么呢？

几何重数 Geometric Multiplicity ：线性独立的特征向量的数目
代数重数 Algebraic Multiplicity ：特征值 的最大重复数
如果 GM < AM，则 A 不能被对角化

三、应用实例

研究微分方程和差分方程
求解差分方程：斐波那契数列
求解微分方程：微分方程组